Teorema de Pitagoras
El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Empleo del teorema de Pitágoras
Conociendo los lados de un triángulo, averiguar si es rectángulo
Para que un triángulo sea rectángulo el cuadrado de lado mayor ha de ser igual a la suma de los cuadrados de los dos menores.
Determinar si el triángulo es rectángulo.
Conociendo los dos catetos calcular la hipotenusa
Los catetos de un triángulo rectángulo miden en 3 m y 4 m respectivamente. ¿Cuánto mide la hipotenusa?
Conociendo la hipotenusa y un cateto, calcular el otro cateto
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?
Ejercicios
Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
Hallar el área del triángulo equilátero:
Hallar la diagonal del cuadrado:
Hallar la diagonal del rectángulo:
Hallar el perímetro y el área del trapecio rectángulo:
P = 8 + 6 + 12 + 6.32 = 32.32 cm
El perímetro de un trapecio isósceles es de 110 m, las bases miden 40 y 30 m respectivamente. Calcular los lados no paralelos y el área.
Hallar el área del pentágono regular:
Calcular el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.
En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.
Teorema de Thales de Mileto
Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales), debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que seasemejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos)
a.-Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados sonproporcionales a los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula:
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que seasemejante a otro existente (triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos)
a.-Primer teorema
Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados sonproporcionales a los del triángulo ABC.
COROLARIO
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:
Otra variante del Teorema de Tales
Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo):
Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).
Si dos rectas cualesquieras (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).
b.-Segundo teorema
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado:
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
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| Figura 1. Ilustración del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto. | Figura 2. Siempre que AC sea un diámetro, el ángulo B será constante y recto |
Teoremas de triángulos semejantes
Triángulos semejantes
Dados los triángulos ABC y A'B'C' determinamos los lados y ángulos homólogos.
Lados homólogos:
a y a', b y b', c y c'
Ángulos homólogos:
A y A´ B y B´ C y C´
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.
A=A´ B=B´ C=C´
La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de semejanza.
La razón de las á
Criterios de semejanza
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
A_=A´ B=B´
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
Semejanza de triángulos rectángulos
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo igual.
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los dos catetos proporcionales.
Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto.
Ejemplos prácticos
Determinar la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Teorema de triangulos congruentes
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Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triángulos tienen entre si la misma forma y tamaño.
Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo .
Definición:
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Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son.
Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:
Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:
Criterios de congruencia
Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes.
Estas son:
1.- Congruencia de sus lados
2.- Congruencia de sus ángulos
Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales.
Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son:
Postulado LAL
LAL significa lado-ángulo-lado.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.
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Postulado ALA
ALA significa ángulo-lado-ángulo.
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.
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Postulado LLA
LLA significa lado-lado-ángulo
Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.
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Postulado LLL
LLL significa lado-lado-lado.
Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
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Teoremas & Clasificación de Triángulos
Clasificación
Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
Por las longitudes de sus lados
Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:
Como triángulo equilátero, cuando los tres lados del triángulo son del mismo tamaño (los tres ángulos internos miden 60 grados)
Como triángulo isósceles (del griego ἴσος "igual" y σκέλη "piernas", es decir, "con dos piernas iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales ).
Como triángulo escaleno (del griego σκαληνός "desigual"), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).
Clasificación según los lados y los ángulos
Los triángulos acutángulos pueden ser:
Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.
Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.
Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).
Los triángulos rectángulos pueden ser:
Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.
Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.
Los triángulos obtusángulos pueden ser:
Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.
Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos
Triángulo Acutángulo
El triángulo acutángulo es aquel que tiene todos sus ángulos agudos.
Triángulo Rectángulo
El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (< CAB).
Triángulo Obtusángulo
El triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso, tal como se muestra a continuación:
Teoremas sobre rectas paralelas
Definicion:
- ANGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son dos ángulos exteriores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal.
- ANGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal.
- ANGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son dos ángulos interiores con diferentes vértices en lados opuestos de la transversal.
- ANGULOS CORRESPONDIENTES: Los angulos correspondientes estan en el mismo lado de la transversal. Uno de los angulos es un angulo exterior, el otro es un angulo interior.
- ANGULOS CORRESPONDIENTES: Los angulos correspondientes estan en el mismo lado de la transversal. Uno de los angulos es un angulo exterior, el otro es un angulo interior.
- ANGULOS CORRESPONDIENTES: Los angulos correspondientes estan en el mismo lado de la transversal. Uno de los angulos es un angulo exterior, el otro es un angulo interior.
TEOREMAS
1. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
2. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos interiores son congruentes, entonces las rectas son paralelas.
3. Si dos rectas se cortan por una transversal y un par de ángulos alternos exteriores son congruentes, entonces las rectas son paralelas. correspondientes
4. Si dos rectas se cortan por una transversal, y un par de ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.
5. Dadas las rectas p,q y r, si p ll q y q ll r, entonces p ll r.
6. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos interiores son congruentes.
7. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos alternos exteriores son congruentes.
8. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos son congruentes.
9. Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado de la transversal son suplementarios.
Alumna:Frida Fernanda Prudencio Carrillo
Grupo :208
N.l 29
Primer Parcial Matematicas 2
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